समाकलन int frac{dx}{(1 + sqrt{x}) cdot sqrt{x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.$1 + \sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता

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$ - 2\sqrt {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 +\sqrt x }}}  + c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.$1 + \sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.यहाँ $1 - x = 1 - (t - 1)^2 = 2t - t^2$.अतः $I = \int \frac{2 dt}{t \sqrt{2t - t^2}} = 2 \int \frac{dt}{t \sqrt{t(2 - t)}} = 2 \int \frac{dt}{t^{3/2} \sqrt{2 - t}}$.अब $t = \frac{1}{z}$ रखने पर,$dt = -\frac{1}{z^2} dz$ प्राप्त होता है।$I = 2 \int \frac{-dz/z^2}{(1/z)^{3/2} \sqrt{2 - 1/z}} = 2 \int \frac{-dz}{\sqrt{2z - 1}}$.$I = -2 \int (2z - 1)^{-1/2} dz = -2 \sqrt{2z - 1} + c$.$z = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ का मान रखने पर:$I = -2 \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{x}} - 1} + c = -2 \sqrt{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}} + c$.

समाकलन $\int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है)

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$\int \sec x \tan^3 x \, dx = $

यदि $I_1 = \int \frac{e^x}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx$ और $I_2 = \int \frac{e^{-x}}{e^{-4x} + e^{-2x} + 1} dx$ है, तो $I_2 - I_1 =$

फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$

$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \sqrt{x^2+x+1} \, dx$

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